1~n整数中1出现的次数

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题目：

输入一个整数n，求1~n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。
例如输入12,1~12这些整数中包含1的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。

1、不考虑时间效率的解法（时间复杂度：O(nlogn)）

这种基本的解法就是对每一个数字进行数字的统计，时间复杂度高，难以拿到offer的解法；
数字n有logn位，所以每个数字时间复杂度为O(logn)，n个数字时间复杂度为O(nlogn)。

public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
    int count = 0;
    for(int i=0; i<=n; i++){
        int temp = i;
        //如果temp的任意位为1则count++
        while(temp!=0){
            if(temp%10 == 1){
                count++;
            }
            temp /= 10;
        }
    }
    return count;
}

2、寻找规律高时间效率的解法（时间复杂度：O(logn)）

这种解法寻求数字的规律，时间复杂度低；

首先要知道以下的规律：

从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次；
从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 X 都出现了 10 次；
从 1 至 1000，在它们的百位数中，任意的 X 都出现了 100 次。
依此类推，从 1 至 10^(i)，在它们的左数第二位（右数第 i 位）中，任意的 X 都出现了 10^(i−1) 次。

接下来以 n=2593，X=5 为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位，260 次出现在十位，294 次出现在百位，0 次出现在千位。现在依次分析这些数据.

首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，因为它们最大的个位数字 3 < X，因此不会包含任何 5。
然后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，因此任意的 X 都出现了 25×10=250 次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。
接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，因此任意的 X 都出现了 2×100=200 次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。
最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X，所以不会包含任何 5。

到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。

总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第 i 位包含的 X 的个数时:

取第 i 位左边（高位）的数字，乘以 10i−1，得到基础值 a。
取第 i 位数字，计算修正值：
1. 如果大于 X，则结果为 a+10i−1。
2. 如果小于 X，则结果为 a。
3. 如果等 X，则取第 i 位右边（低位）数字，设为 b，最后结果为 a+b+1。

相应的代码非常简单，效率也非常高，时间复杂度只有 O(log10n)。

public int numOf1Count(int n) {
    int count = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i *= 10) {
        int a = n / i;
        int b = n % i;
        //之所以补8，是因为当百位为0，则a/10==(a+8)/10，
        //当百位>=2，补8会产生进位位，效果等同于(a/10+1)
        count += (a + 8) / 10 * i + ((a % 10 == 1) ? b + 1 : 0);
    }
    return count;
}

引自博客：https://blog.csdn.net/huzhigenlaohu/article/details/51779365