圆圈中最后剩下的数字

题目：

​ 0，1，2…n-1 这 n 个数字排成一个圆圈，从数字 0 开始，每次从这个圆圈里删除第 m 个数字，求出这个圆圈里面剩下的最后一个数字。例如 0，1，2，3，4 这5个数字组成一个圆圈，从数字 0 开始每次删除第 3个数字，则删除的前 4 个数字依次是 2，0，4，1，因此最后剩下的数字是 3。

分析：

1. 第一种：

   经典的解法， 用环形链表模拟圆圈。
   创建一个总共有 n 个结点的环形链表，然后每次在这个链表中删除第 m 个结点。

   代码：

   public static int getLastRemainByList(int n, int m) {
       if (n < 1 || m < 1) {
           return -1;
       }
   
       List<Integer> list = new LinkedList<>();
       for (int i = 0; i < n; i++) {
           list.add(i);
       }
   
       // 计数，每次删除第m个数字
       int count = 0;
       for (int index = 0; list.size() > 1; index++) {
   
           count++;
           // 只剩最后一个元素
           index = index == list.size() ? 0 : index;
           if (count % m == 0) {
               list.remove(index);
               index--;
           }
       }
   
       return list.get(0);
   }
   

2. 方法二：

   ​ 首先我们定义一个关于 n 和 m 的方程 f(n, m) 时，表示每次在 n 个数字 0，1， … ，n-1中每次删除第 m 个数字最后剩下的数字。

   ​ 在这 n个数字中， 第一个被删除的数字是 (m-1)%n。为了简单起见，我们把 (m- 1)%n 记为 k，那么删除k 之后剩下的 n-1 个数字为 0，1，… ，k-1，k+1，… ，n-1，并且下一次删除从数字 k+1 开始计数。相当于在剩下的序列中， k+1 排在最前面，从而形成 k+1，... ，n- 1，0，I，… ，k-1 。该序列最后剩下的数字也应该是关于 n 和 m 的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样（最初的序列是从 0 开始的连续序列），因此该函数不同于前面的函数，记为 f’(n-1,m)。最初序列最后剩下的数字 f(n, m）一定是删除一个数字之后的序列最后剩下的数字，即 f(n, m)=f’(n-1, m）。

   ​ 接下来我们把剩下的这 n-1 个数字的序列 k-1， …，n-1，0，1，… ，k-1 做一个映射，映射的结果是形成一个从 0 到 n-2 的序列：

   k+1 -> 0
   k+2 -> 1
   ...
   n-1 -> n-k-2
   0 -> n-k-1
   1 -> n-k
   ...
   k-1 -> n-2
   

   我们把映射定义为 p，则 p(x) = (x - k - 1) % n，它表示如果映射前的数字是 x，那么映射后的数字是 (x-k-1)%n。该映射的逆映射是 p’(x) = (x + k + 1) % n 。

   ​ 由于映射之后的序列和最后的序列具有同样的形式，即都是从 0 开始的连续序列，因此仍然可以用函数 f 来表示，记为 f(n-1, m)。根据我们的映射规则，映射之前的序列中最后剩下的数字 f'(n-1, m)=p'[f(n-1, m)]=[f(n-1, m)+k+1]%n，把 k=(m-1)%n 带入得到 f(m, n)=f'(n-1, m)=[f(n-1, m) + m] %n。

   ​ 由此可以得到一个公式：
   $$
   f(n) =
   \begin{cases}
   0, & \text{n=1} \
   [f(n-1, m)+m]%n, & \text{n>1}
   \end{cases}
   $$

   代码：

   基于循环实现

   public static int getLastRemainByMath(int n, int m) {
       if (n < 1 || m < 1) {
           return -1;
       }
       int last = 0;
       for (int i = 2; i <= n; i++) {
           last = (last + m) % i;
       }
       return last;
   }